Нормальный оператор

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: $N^{*}N=NN^{*}$. Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: $A=A^{*}$ и унитарные операторы: $U^{-1}=U^{*}$. Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения

• Аддитивное разложение. $N=X+iY$, где $X,Y$ — перестановочные самосопряжённые операторы,

$X={\frac {1}{2}}(N+N^{*}),\quad Y={\frac {1}{2i}}(N-N^{*}).$

• Мультипликативное (полярное) разложение. $N=RU=UR$, где $R={\sqrt {N^{*}N}}$ — положительный самосопряжённый оператор, $U$ — унитарный оператор. Операторы $R$ и $U$ перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с $N$ и $N^{*}$.

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа $z$ через его действительную и мнимую части: $z=x+iy$, а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: $z=re^{i\varphi }.$

Свойства

• Если оператор $N$ нормален, то операторы $N^{*}$, $\alpha N+\beta I,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$, а также обратный оператор $N^{-1}$ (если он существует), тоже нормальны.
• Линейный непрерывный оператор $N$ в гильбертовом пространстве $H$ нормален тогда и только тогда, когда $\|Nx\|=\|N^{*}x\|$ для каждого $x\in H$.
• ${\mbox{Ker}}\,N={\mbox{Ker}}\,N^{*}={\mbox{Im}}\,N^{\perp }$. Здесь ${\mbox{Ker}}\,N$ — ядро, ${\mbox{Im}}\,N$ — образ оператора $N$.
• Если $Nx=\alpha x$ при некотором $x\in H$ и $\alpha \in \mathbb {C}$, то $N^{*}x={\bar {\alpha }}x$.
• Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны.
• Теорема о перестановочности. Пусть $M,N,T$ — линейные непрерывные операторы, причем операторы $M$ и $N$ нормальны. Если $MT=TN$, то $M^{*}T=TN^{*}$. В частности, если оператор $T$ перестановочен с нормальным оператором $N$, то он перестановочен и с сопряжённым $N^{*}$.
• $\|N\|=\sup\{|(Nx,x)|\colon x\in H,\,\|x\|\leq 1\}$
• Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.
• Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если $M=TNT^{-1}$, где $M,N$ — нормальные операторы, а оператор $T$ обратим, то $M=UNU^{-1}$, где $U$ — унитарный оператор.
• $\|N^{m}\|=\|N\|^{m}$, следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.

Спектральная теорема

Основная статья: Спектральная теорема

Любому нормальному оператору $N$ соответствует семейство проекционных операторов $\{E(\delta )\}$, являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что $N=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }zE(dxdy),\quad N^{*}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\bar {z}}E(dxdy),$ и вообще $q(N,N^{*})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }q(z,{\bar {z}})E(dxdy),$ где $q(z,{\bar {z}})$ — произвольный многочлен от $z=x+iy$ и ${\bar {z}}=x-iy$; при любом фиксированном прямоугольнике $\delta$ оператор $E(\delta )$ является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов $N$ и $N^{*}$.

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

$f(N)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(z)E(dxdy).$

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

• Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
• Для нормального оператора $N$ каждый из операторов $N$ и $N^{*}$ представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора $N$.
• Если $S$ — инвариантное подпространство относительно оператора $N$, то его ортогональное дополнение $S^{\perp }$ тоже является инвариантным подпространством для $N$.
• Матрица $N$ является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть $N=UDU^{-1},$ где $U$ — унитарная матрица, $D$ — диагональная матрица.

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор $N$ (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве $H$ называется нормальным, если его область определения $D(N)$ плотна в $H$, он замкнут и удовлетворяет условию $N^{*}N=NN^{*}$. Для нормального оператора $D(N^{*})=D(N)$, $\|Nx\|=\|N^{*}x\|$ для любого $x\in D(N)$. Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.

См. также

• Самосопряжённый оператор
• Унитарный оператор
• Спектральная теорема

Литература

• Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.